Úkol z mikroekonomie v LaTeXu

\begin{eqnarray*}
	H_1: g_1(x_1,x_2) & = & x_1,\\
	H_2: g_2(x_1,x_2) & = & x_2,\\
	H_3: g_3(x_1,x_2) & = & x_1^2 + x_2 - 9,\\
	H_4: g_4(x_1,x_2) & = & -x_1x_2+8\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
	&\left[0,9\right]\\
	&\left[1,8\right] \\
	&\left[3,0\right]\\
	&\left[\dfrac{-1 + \sqrt{33}} {2}, \dfrac {16} {-1 + \sqrt{33}}\right]\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2) & = & 1\\
	\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2) & = & 1\\
\end{eqnarray*}

Odsud podezřelý bod $[\frac{1}{2}, 8\frac{3}{4}], f(\frac{1}{2}, 8\frac{3}{4}) = 9\frac{1}{4}$, přičemž $x_1,x_2$ splňuje, že leží na $M$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5} %osy jednotka (zde 0,5 cm, standardně 1 cm)
\psset{yunit=0.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)  % rozsah obrázku
	\uput*{2pt}[r]{0}(0,9.5){$M$} %Text s nápisem M, množina - nenašel jsem jednoduchou možnost, jak šrafovat
	\uput*{2pt}[r]{0}(4,1){$M$ }

  \psgrid[gridcolor=lightgray,gridlabels=10pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(10,10) %osy
  % Křivky, jde používat matematické výrazy v infixové zápisu
  % První údaj vždy začátek [x,y], druhý konec [x,y]
	\psplot[linecolor=red]{0.8}{10}{8 x div}
	\psplot[linecolor=blue]{-0.8}{3.1}{9 x x mul sub}
	\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](0,9)(0,10)
	\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](3,0)(10,0)
\end{pspicture}\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7} %osy jednotka
\psset{yunit=0.7}
\begin{pspicture}(0,0)(16,10)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=3,gridlabels=10pt](0,0)(16,10)\psline[linecolor=red, linewidth=2pt](0,5)(15,0)
\psline[linecolor=blue, linewidth=2pt](0,10)(10,0)
\pspolygon[linecolor=darkgray,fillstyle=vlines, hatchangle=0, fillcolor=lightgray](0,0)(10,0)(7.5,2.5)(0,5) % šrafuje, jinak standardní polygon
\pspolygon[linecolor=darkgray,fillstyle=hlines, hatchangle=0, fillcolor=lightgray](0,0)(15,0)(7.5,2.5)(0,10)

\rput[tr]{90}(-2,8){\textbf{žvýkačky}} % popisky os, naprosto netuším, jak fungují
\uput[10](13,-1){\textbf{ambrosie}}
\end{pspicture}\end{center}

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\newcommand\uv[1]{\quotedblbase #1\textquotedblleft}% ceske uvozovky
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[czech, english]{babel}
\usepackage{fontenc}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{charter} %palatino
\usepackage{boxedminipage}
\RequirePackage[top=4 cm, bottom=2.5 cm, left=2 cm, right=2 cm]{geometry}
\PrerenderUnicode{ěščřžýáíéůú} %aby neházel v section chybu PrerenderUnicode
%nechci žádné číslování
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{setspace}

\pagestyle{fancy}
\usepackage[scaled=1]{helvet}

\usepackage[short, nodayofweek, ddmmyyyy]{datetime}
\shortdate
\ddmmyyyydate
\author{Karel kohout}
\lhead[]{
	2.4.2008
	}

\rhead[]{
	\textbf{Karel Kohout}\\karel.kohout@centrum.cz\\IES FSV UK
	}

%\setlength\bottommargin{-1cm}
\setlength\headheight{36pt}
\setlength\headsep{14pt}
\setlength\footskip{30pt}
\newcommand\ctitle{
	\begin{center}
		\smallskip 
			\begin{Large}\textbf{Domácí úkol 1 z Mikroekonomie I}\end{Large}
		\smallskip 
	\end{center}}

  \renewcommand{\thesection}{ Příklad \arabic{section}}
  \renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section} \alph{subsection})}
  \renewcommand{\thesubsubsection}{\roman{subsubsection})}

\begin{document}
\ctitle
\section{}
Minimum pro $f(x_1, x_2) = x + x_2$\\

Definiční obor:
\begin{center}
\psset{xunit=0.5} %osy jednotka
\psset{yunit=0.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11) 
	\uput*{2pt}[r]{0}(0,9.5){$M$}
	\uput*{2pt}[r]{0}(4,1){$M$ }

  \psgrid[gridcolor=lightgray,gridlabels=10pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(10,10)
  % The two curves
	\psplot[linecolor=red]{0.8}{10}{8 x div}
	\psplot[linecolor=blue]{-0.8}{3.1}{9 x x mul sub}
	\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](0,9)(0,10)
	\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](3,0)(10,0)
\end{pspicture}\end{center}

Zadanou množinu si rozdělím na 4 hranice:
\begin{eqnarray*}
	H_1: g_1(x_1,x_2) & = & x_1,\\
	H_2: g_2(x_1,x_2) & = & x_2,\\
	H_3: g_3(x_1,x_2) & = & x_1^2 + x_2 - 9,\\
	H_4: g_4(x_1,x_2) & = & -x_1x_2+8\\
\end{eqnarray*}

množinu $H_5$ hraničních bodů, kde může být extrém:
\begin{eqnarray*}
	&\left[0,9\right]\\
	&\left[1,8\right] \\
	&\left[3,0\right]\\
	&\left[\dfrac{-1 + \sqrt{33}} {2}, \dfrac {16} {-1 + \sqrt{33}}\right]\\
\end{eqnarray*}

a vnitřek ($IntM$, přičemž platí $M = IntM \cup H_1 \cup H_2 \cup H_3 \cup H_4 \cup H_5$). $M$ je uzavřená, $f$ je na $M$ spojitá a tudíž na $M$ nabývá svého minima a maxima.

\subsection{Extrém na $IntM$}
\begin{eqnarray*}
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2) & = & 1\\
	\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2) & = & 1\\
\end{eqnarray*}
Je zřejmé, že $f$ nenabývá na $IntM$ extrému, hledám ho tedy na hranici (přičemž vždy vyjádřím jednu neznámou z vazby a dosadím do $f$ -- převádím tak problém na řešení extrému jedné rovnice o jedné neznámé).

\subsection{Extrém na $H(M)$}
\subsubsection{$H_1, H_2$}
\begin{eqnarray*}
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,0) & = & 1\\
	\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,0) & = & 0\\
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2) & = & 0\\
	\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(0,x_2) & = & 1\\
\end{eqnarray*}
$f$ nenabývá na $H_1$ ani na $H_2$ extrému, a pro další dvě hranice získávám výhodnou podmínku $x_1 >0, x_2>0$.

\subsubsection{$H_3$}
\begin{eqnarray*}
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,9-x_1^2) & = & -2x_1+1 = 0 \\
	-2x_1 & = & -1\\
	x_1 & = & \displaystyle\dfrac{1}{2}\\
	x_2 & = & 9-\displaystyle\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 8\dfrac{3}{4}\\
\end{eqnarray*}
Odsud podezřelý bod $[\frac{1}{2}, 8\frac{3}{4}], f(\frac{1}{2}, 8\frac{3}{4}) = 9\frac{1}{4}$, přičemž $x_1,x_2$ splňuje, že leží na $M$.


\subsubsection{$H_4$}
\begin{eqnarray*}
	\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\dfrac{8}{x_1}) & = & 1- \dfrac{8}{x_1^2} = 0 \\
	\dfrac{8}{x_1^2} & = & 1 \\
	|x_1| & = & \sqrt{8}\\
\end{eqnarray*}
Odsud podezřelé body
$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$ a $[+2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$.
Bod $[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$
leží mimo množinu $M$.
Funkční hodnota $f(+2\sqrt{2},2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ a leží na $M$.

\subsubsection{$H_5$ (hraniční body)}
Pro jednotlivé body zkoumám funkční hodnoty:
\begin{eqnarray*}
	&f (0,9) = 9\\
	&f (1,8) = 9\\
	&f (3,0) = 3\\
	&f\left(\dfrac{-1 + \sqrt{33}} {2}, \dfrac {16} {-1 \sqrt{33}}\right) =\dfrac{-1 + \sqrt{33}} {2}+ \dfrac {16} {-1 \sqrt{33}}=\dfrac {(33-\sqrt{33}) (\sqrt{33}-1) } {34} = \sqrt{33} \doteq 5,745\\
\end{eqnarray*}
Podezřelý bod je $[3,0]$, po srovnání s ostatními množinami se jedná o globální minimum.

Minimum $f(x_1,x_2)$ pro zadanou množinu $M$ je v bodě $[3,0]$.

\section{}
\subsection{}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7} %osy jednotka
\psset{yunit=0.7}
\begin{pspicture}(0,0)(16,10)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=3,gridlabels=10pt](0,0)(16,10)\psline[linecolor=red, linewidth=2pt](0,5)(15,0)
\psline[linecolor=blue, linewidth=2pt](0,10)(10,0)
\pspolygon[linecolor=darkgray,fillstyle=vlines, hatchangle=0, fillcolor=lightgray](0,0)(10,0)(7.5,2.5)(0,5)
\pspolygon[linecolor=darkgray,fillstyle=hlines, hatchangle=0, fillcolor=lightgray](0,0)(15,0)(7.5,2.5)(0,10)

\rput[tr]{90}(-2,8){\textbf{žvýkačky}}
\uput[10](13,-1){\textbf{ambrosie}}
\end{pspicture}\end{center}

\subsection{Diskuse}
Vodorovně je vyšrafována množina, která je přípustná, \textbf{než} si Munžan vybere, ve kterých jednotkách chce mzdu. Pokud bychom zkoumali přípustnou množinu po výběru MPJ/RPJ, jednalo by se buď o plochu pod rozpočtovým omezením MPJ (pokud by bral MPJ) nebo pod RPJ (pokud by bral výplatu v RPJ).

\subsection{}
Omezení komické není, v zásadě jsme podobným limitům vystaveni všichni. Zcela konkrétní příklad je přídělový systém (je třeba poukázka a zároveň peníze), abstraktnější příklad je kombinace peníze a čas. Na nákup jakéhokoliv statku musíme obvykle investovat jak určitou částku, tak určitý objem času (na získání informací, realizaci nákupu). Podobně může být i jedním rozpočtovým omezením hotovost v peněžence a druhým hmotnost nákupu, kterou uneseme.

\section{}

\begin{align*}
&u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}\\
&u^A(x_1, x_2) = \dfrac{50}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}\\
&u^B(x_1, x_2) = 7x_1 + 14\sqrt{x_1x_2} + 7x_2\\
&u^C(x_1, x_2) = \ln{x_1} + \ln{x_2}\\
\end{align*}
\subsection{}
Dle návodu (funkce mají shodné indiferenční křivky, pokud mají tutéž $MRS_{12}(x_1,x_2)$) počítám pro každou $u^A$, $u^B$, $u^C$:
$$MRS_{12}(x_1,x_2) = \dfrac{ \frac { \partial u^{A,B,C}  } {\partial x_1} } { \frac {\partial u^{A,B,C}} {\partial x_2} }$$
a porovnávám s
$$\dfrac{ \frac { \partial u} {\partial x_1} } { \frac {\partial u} {\partial x_2} } = \dfrac{ \frac { 1} {2 \sqrt{x_1}} } { \frac {1} {2 \sqrt{x_2}} } = \dfrac{\sqrt{x_2}} {\sqrt{x_1} } $$\\
\bigskip 
\begin{center}
\begin{tabular}{c | c | c}
	Funkce & $MRS_{2,1}(x_1,x_2)$ & Shodné indif. křivky s $u$\\
	\hline
	$u^A$ & $\dfrac{ \dfrac {-50 \frac{1} {2\sqrt{x_1}} } {(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2}} { \dfrac {-50\frac{1} {2\sqrt{x_2}} } {(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2} } = \dfrac {2\sqrt{x_2}} {2\sqrt{x_1}} = \dfrac{\sqrt{x_2}} {\sqrt{x_1}}  $ & Ano\\
	\hline
	$u^B$ & $\dfrac{7 + 14\sqrt{x_2}\frac{1}{2\sqrt{x_1}}} {7 + 14\sqrt{x_1}\frac{1}{2\sqrt{x_2}}}= \dfrac{7(1 + 2\frac{\sqrt{x_2}}{2\sqrt{x_1}})} {7(1 + 2\dfrac{\sqrt{x_1}}{2\sqrt{x_2}})} = \dfrac{\sqrt{x_2}} {\sqrt{x_1}} \cdot \dfrac {\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} } {\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} } = \dfrac{\sqrt{x_2}} {\sqrt{x_1}}$ & Ano\\
	\hline
	$u^C$ & $\dfrac {\frac{1}{x_1}} {\frac{1}{x_2}}=\dfrac{x_2}{x_1} $ &  Ne\\
\end{tabular} \end{center}
Ne, shodné indiferenční křivky nestačí ke shodě preferenčního uspořádání.

\subsection{}
	$\dfrac{50}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} = 50 (u^{-1})$, ovšem toto pravidlo nevyhovuje transformaci, protože $u$ je rostoucí na celém definičním oboru, zatímco $\dfrac{50}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}$ se pro velká $x_1, x_2$ blíží k nule (a nesplňuje tedy podmínku, aby byla rostoucí vždy, když roste $u$).

	$7x_1 + 14\sqrt{x_1x_2} + 7x_2 = 7\cdot(u^2)$ na definičním oboru splňuje výše uvedenou podmínku a tudíž se jedná o (rostoucí) transformaci $u$.

\subsection{}
Totéž preferenční uspořádání jako $u$ vyjadřuje funkce $u^B$ ($7x_1 + 14\sqrt{x_1x_2} + 7x_2$).

\section{}
\psset{xunit=1} %osy jednotka
 \psset{yunit=1}

\subsection{}
\psset{xunit=0.013} %osy jednotka
 \psset{yunit=0.013}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-100,-100)(600,600)
\psgrid[subgriddiv=0,griddots=5,gridlabels=8pt, xunit=100, yunit=100](0,0)(5,5)
%pro 300,0
\psline[linecolor=red, linewidth=1pt](300,0)(200,200)
\psline[linecolor=red, linewidth=1pt](200,200)(200,550)
%pro 100,500
\psline[linecolor=blue, linewidth=1pt](150,0)(100,100)
\psline[linecolor=blue, linewidth=1pt](100,100)(100,550)

%pro 300,300
\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](450,0)(300,300)
\psline[linecolor=green, linewidth=1pt](300,300)(300,550)
\psdot(300,0)
\psdot(100,500)
\psdot(300,300)
%\psline[linecolor=blue, linewidth=2pt](0,10)(10,0)

\uput*{2pt}[r]{0}(-250,400){brambory ve stovkách g}
\uput*{2pt}[r]{0}(200,-50){řízky ve stovkách g}
\end{pspicture}\end{center}
\medskip 

\subsection{}
Pepovy indiferenční křivky jsou vrstevnice pro následující dvě funkce:\\
$f^1(x,y) = x+ \frac{1}{2}y$ pro $x_1 \geq x_2$\\
$f^2(x,y) = x + \frac{1}{2}x$ pro $x_1<x_2$\\
($x_1$ řízky, $x_2$ brambory). Na přímce $f(x_1) = x_1$ leží hrot, kde sklon nelze určit.

Sklon indiferenčních křivek počítám jako:
$$-\dfrac{ \frac { \partial f(x^0)  } {\partial x_1} } { \frac {\partial f(x^0)} {\partial x_2} }$$
přičemž za $f$ beru buď $f^1$ nebo $f^2$, podle hodnot $x_1$, $x_2$.\\
\medskip 
\begin{tabular}{| c | c | c |}
	Bod ($x^0$) & Sklon indif. křivek\\
	\hline
	$[250,100]$&$ -\dfrac {\frac{\partial f_1} {\partial x_1} } {\frac{\partial f_1} {\partial x_2} } = -\dfrac {1} {\frac{1} {2}} = -2$ \\
	\hline
	$[300,450]$&$ -\dfrac {\frac{\partial f_2} {\partial x_1} } {\frac{\partial f_2} {\partial x_2} }  = $ (dějovou zkratkou přes limitu a předpoklad, že $x_1 \rightarrow 0^+$ vyjde)  $\rightarrow - \infty $\\
	\hline
	$[200,200]$& Nelze určit (neexistuje derivace), funkce, které jsem odvodil,\\
			&	zde totiž mají hrot (a derivace zprava $-2$, derivace zleva $- \infty $). \\
\end{tabular} 
\medskip 
\subsection{}
\begin{itemize}
	\item Pepovy preference jsou tranzitivní (pokud platí pro soubory preferencí - řízky a brambory - $x^` \preceq x^{``}$ a  $x^{``} \preceq x^{```}$, pak platí i  $x^` \preceq x^{```}$, což zde odpovídá).
	\item Pepovy preference jsou lokálně nesaturované (je ochotný sníst libovolné množství řízků).
	\item Pepovy preference jsou ryze monotonní v proměnné $x_1$ (řízky).
	\item Pepovy preference nejsou ryze konvexní.
	\item Pepovy preference jsou konvexní.
	\item Pepovy preference jsou spojité.
	\item Pepovy preference nejsou hladké (osa kvadrantu).
\end{itemize}
\end{document}


</code>